已知B为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点（除顶点），过B作抛物线准

问题解答题

已知B为抛物线y²=2px（p＞0）上的动点（除顶点），过B作抛物线准线的垂线，垂足计
为C．连接CO并延长交抛物线于A，（O为原点）
（1）求证AB过定点Q．
（2）若M（1，

），试确定B点的位置，使|BM|+|BQ|取得最小值，并求此最小值．

答案

（1）设B点坐标为（

yB2

，y_B），则C为（-

，y_B）

那么直线CO的方程为y=-

x，

与抛物线联立，求解，得A点坐标为（

2yB2

，-p2 ×yB ），

故直线AB的方程为 2py_Bx-（y_B²-p²）y-p²•y_B=0，

令x=

，则y=0，

故直线AB过定点Q（

，0）．

（2）由（1）得，Q为抛物线焦点，

故|BQ|=|BC|，

根据三角形两边之和大于第三边，从而当y_B=p

时，即B（

，

）时，

|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小，

最小值为

+1．