问题
解答题
已知F1、F2是椭圆
（Ⅰ）求直线AB的方程； （Ⅱ）若△ABF2的面积等于4
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8
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答案
（Ⅰ）由
-. AF2
=0知AF2⊥F1F2. F1F2
∵椭圆离心率等于
，所以c=2 2
a，b2=2 2
a2，故椭圆方程可以写成x2+2y2=a2，1 2
设A（c，yA），代入方程得yA=
a，所以A（1 2
a，2 2
a），1 2
故直线AB的斜率k=
，因此直线AB的方程为y=2 2
x（4分）2 2
（Ⅱ）连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知S△AEF1=S△ABF1=S△AF1F2，
所以
-2c-1 2
a=41 2
，解得a2=16，b2=8故椭圆方程为2
+x2 16
=1（8分）y2 8
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2
=4(2
)2+222 3
假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8
，设点M到直线AB的距离为d，则应有3
-41 2
•d=83
，所以d=43
设M所在直线方程为
x-2y±42
=0与椭圆方程联立消去x得方程4y2±86
y+32=06
即y2±2
y+8=0，∵△=（±26
）2-4×8＜0故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于86
（14分）3
牙周袋深6mm，牙龈明显退缩，根分叉区完全暴露。X线片：根分叉区呈完全透射区域。最可能的诊断是（）。