问题
解答题
已知二次函数f(x)=ax2+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的零点，并写出f(x)＜0时，x取值的集合；
(3)设F(x)=4f(ax)+3a2x-1(a＞0，且a≠1)，当x∈[-1，1]时，F(x)有最大值14，试求a的值．
答案
解：(1)∵f(x)=ax2+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1，
∴a(x-1)2+b(x-1)=ax2+bx+x-1，
即ax2-(2a-b)x+a-b=ax2+(b+1)x-1，
∴
，解得
，
∴
。
(2)由f(x)=0得函数的零点为0，1，
又函数f(x)的图象是开口向下的抛物线，
∴f(x)＜0时x＞1或x＜0，
∴x取值的集合为{x|x＞1或x＜0}．
(3)由F(x)=4f(ax)+3a2x-1(a＞0，且a≠1)，得F(x)=a2x+2ax-1，
①当a＞1时，令u=ax，
∵x∈[-1，1]，
∴
，
令g(u)=u2+2u-1=(u+1)2-2，，
∵对称轴u=-1，
∴g(u)在
上是增函数，
∴gmax(u)=g(a)=a2+2a-1=14，
∴a2+2a-15=0，
∴a=3，a=-5（舍）；
②当0＜a＜1时，令u=ax，
∵x∈[-1，1]，
∴
，
∴g(u)=u2+2u-1=(u+1)2-2，
，
∵对称轴u=-1，
∴g(u)在
上是增函数，
∴
，
∴
(舍)，∴
；
综上，
或a=3．