问题
解答题
已知函数f(x)=-x2+8x，g(x)=6lnx+m，
（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t+1]上的最大值h(t)；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
答案
解：（Ⅰ）
，
当t+1＜4，即t＜3时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，
；
当t≤4≤t+1时，即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16；
当t＞4时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，
；
综上，
；
（Ⅱ）令
，
∴
，
当x∈（0，1）时，
是增函数；
当x∈（1，3）时，
是减函数；
当x∈（3，+∞）时，
是增函数；
当x=1或x=3时，
=0，
所以，
，
∵当x充分接近0时，
＜0；当x充分大时，
＞0，
∴要使
的图象与x轴的正半轴有三个不同的交点，
必须且只需
，
∴
，
故存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点。
