渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0),为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量,已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k(k>0),
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值;
(3)当鱼群年增长量达到最大时,求k的取值范围.
解:(1)根据题意知空闲率是,得
。
(2)∵,
∴当时,
。
(3)根据实际意义:实际养殖量x与年增长量y的和小于最大养殖量m,即0<x+y<m,
∴,
解之得:-2<k<2,
∵k>0,
∴0<k<2.