已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同

问题解答题

已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．

（1）求这三条曲线的方程；

（2）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出L′的方程；若不存在，说明理由．

答案

（1）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2，

∴抛物线方程为：y²=4x；由题意知椭圆、双曲线的焦点为F（-1，0）₁，F₂（1，0），∴c=1；

对于椭圆，2a=|MF₁|+|MF₂|=

(1+1)2+22

(1-1)2+4

=2+2

；∴a=1+

∴a2=(1+

)2=3+2

∴b²=a²-c²=2+2

∴椭圆方程为：

3+2

2+2

对于双曲线，2a'=||MF₁|-|MF₂||=2

-2

∴a'=

-1

∴a'²=3-2

∴b'²=c'²-a'²=2

-2

∴双曲线方程为：

3-2

-2

（2）设AP的中点为C，l'的方程为：x=a，以AP为直径的圆交l'于D，E两点，DE中点为H．

令A(x1，y1)，∴C(

x1+3

，

)

∴|DC|=

|AP|=

(x1-3)2+y12

|CH|=|

x1+3

-a|=

|(x1-2a)+3|

∴|DH|²=|DC|²-|CH|²=

[(x1-3)2+y12]-

[(x1-2a)+3]2

=（a-2）x₁-a²+3a

当a=2时，|DH|²=-4+6=2为定值；

∴|DE|=2|DH|=2

为定值

此时l'的方程为：x=2