已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相

问题填空题

已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程式为______．

答案

由题意，不妨设双曲线的方程为

=1(a＞0，b＞0)

∵P（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a²+b²=9．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则有：

x12

y12

=1①；

x22

y22

=1②

由①-②得：

y1-y2

x1-x2

b2(x1+x2)

a2(y1+y2)

∵AB的中点为N（-12，-15），

∴

y1-y2

x1-x2

4b2

5a2

又AB的斜率是

-15-0

-12-3

∴

4b2

5a2

=1，即4b²=5a^{2
将4b²=5a²代入a²+b²=9，可得a²=4，b²=5
∴双曲线标准方程是
x2
4
-y2
5
=1
故答案为：
x2
4
-y2
5
=1}