问题 解答题

已知二次函数f(x)满足条件f(0)=0,f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根。

(I)求f(x)的解析式;

(II)是否存在实数m,n,使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,说明理由。

答案

解:(I)∵f(x)是二次函数,设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)

∴f(0)=0

∴c=0

f∴(x)=ax2+bx

又∵f(-x+5)=f(x-3)

∴函数f(x)的对称轴为x=1

又∵方程f(x)=x,

即ax2+(b-1)x=0有等根

∴(b-1)2=0

(II)假设存在实数m,n,使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]

又函数f(x)的对称轴为x=1,且开口向下

∴f(x)在[m,n]上单调递增

,即

又m<n

∴m=-4,n=0

∴存在实数m=-4,n=0满足题意。

单项选择题
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