问题
解答题
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=0,f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根。
(I)求f(x)的解析式;
(II)是否存在实数m,n,使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]?如果存在,求出m,n的值;如果不存在,说明理由。
答案
解:(I)∵f(x)是二次函数,设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)
∴f(0)=0
∴c=0
f∴(x)=ax2+bx
又∵f(-x+5)=f(x-3)
∴函数f(x)的对称轴为x=1
∴
又∵方程f(x)=x,
即ax2+(b-1)x=0有等根
∴(b-1)2=0
∴
∴。
(II)假设存在实数m,n,使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]
∵
∴
∴
又函数f(x)的对称轴为x=1,且开口向下
∴f(x)在[m,n]上单调递增
∴,即
又m<n
∴m=-4,n=0
∴存在实数m=-4,n=0满足题意。