已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数，数列{yn}满足ynlogaxn=2

问题解答题

已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），设y₃=18，y₆=12．
（1）数列{y_n}的前多少项和最大，最大值是多少？
（2）试判断是否存在自然数M，使得n＞M时，x_n＞1恒成立，若存在，求出最小的自然数M，若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵数列{y_n}满足

logaxn

=2（a＞0，且a≠1），

∴y_n=2log_ax_n，y_n+1=2log_ax_n+1，

则y_n+1-y_n=2（log_ax_n+1-log_ax_n）=2log_a（

xn+1

）．

∵{x_n}为等比数列，

∴

xn+1

为定值．

∴{y_n}为等差数列．

∵y₃=18，y₆=12，

∴y₆-y₃=3d=12-18，

∴d=-2，y₁=y₃-2d=22．

∴S_n=22n+

n(n-1)

•（-2）=-n²+23n．

∴当n=11或n=12时，S_n取得最大值，且最大值为132．

（2）∵y_n=22+（n-1）（-2）=2log_ax_n，

∴x_n=a^12-n．又x_n=a^12-n＞1，

当a＞1时，12-n＞0，n＜12；

当0＜a＜1时，12-n＜0，n＞12．

综上所述，当0＜a＜1时，存在最小的自然数M=12，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立．