已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Snan-1=qq-1（g是常数，且

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足

an-1

q-1

（g是常数，且（q＞0，q≠1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当q=

时，试证明Sn＜

；
（Ⅲ）设函数．f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），使

+…+

≥

对n∈N^*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

答案

（I ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

q-1

(an-1)-

q-1

（a_n-1-1），∴

an-1

=q，又由S₁=a₁=

q-1

（a₁-1）得a₁=q，∴数列a_n是首项a₁=q、公比为q的等比数列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ

（II）a1+a2+…+an=

[1-(

)n]

(1-

)＜

（III）b_n=log_qa₁+log_qa₂+…+log_qa_n=log_q（a₁a₂…a_n）=logqq1+2+n=

n(n+1)

∴

=2(1-

n+1

)，∴2(1-

n+1

)≥

即m≤6(1-

n+1

)

∵n=1时，[6(1-

n+1

)]min=3，∴m≤3，∵m是正整数，∴m的值为1，2，3