已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F，过原点和x轴不重合的

问题解答题

已知椭圆E：

=1(a＞b＞0)的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|+|BF|=2

，|AB|最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若圆：x2+y2=

的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

答案

（Ⅰ）设A（x₀，y₀）B（-x₀，y₀）F（c，0）（c²=a²+b）

则|AF|+|BF|=2a=2

∴a=

-----------------------------------------（1分）|AB|=

(2x0)2+(2y0)2

x02+(1-

x02

)b2

b2+

c2x02

∵0≤x₀²≤a²∴|AB|_min=2b=2∴b=1所以有椭圆E的方程为

+y2=1-----------------（5分）

（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m

L与圆x2+y2=

相切，

∴

|m|

1+k2

∴m2=

(k2+1)-----------------（7分）

L的方程为y=kx+m代入

+y2=1中得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，

△=8（2k²+1-m²）＞0令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

x1+x2=

-4km

1+2k2

①

x1x2=

2m2-2

1+2k2

②

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

m2-2k2

1+2k2

③--------------------（10分）

•

=x1x2+y1y2=

2m2-2

1+2k2

m2-2k2

1+2k2

3m2-2k2-2

1+2k2

∴

⊥

------------------------------------------------------（12分）