问题
解答题
已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d。方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范围；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围。
答案
解：（1）设 是 的根，那么 ， |
则 是 的根， |
则 即 ， |
所以 。 |
（2）因为 |
所以 |
则  =0的根也是 的根 |
（a）若 ，则 |
此时 的根为0，而 的根也是0， |
所以 ； |
（b）若，则 时， 的根为0，而 的根也是0， |
当
时，
的根为0和
，
而
的根不可能为0和
，
所以
必无实数根，
所以
所以
，
从而
所以当
时，
；
当
时，
。
（3）
，所以
即
的根为0和1，
所以
=0必无实数根，
（a）当
时，
即函数
在
，
恒成立
又
所以
即
所以
；
（b）当
时，
即函数
在
，
恒成立
又
所以
，
，而
所以
所以c不可能小于0。
（c）
则
这时
的根为一切实数，而
，
所以
符合要求。
所以。