解：(1)假设f(x)=g(x)+h(x)①，其中g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，

则有f(-x)=g(-x)+h(-x)，即f(-x)=g(x)-h(x)，②

由①②解得g(x)=，h(x)=，

∵f(x)定义在R上，

∴g(x)，h(x)都定义在R上，

∵g(-x)==g(x)，h(-x)==-h(x)，

∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，

∵f(x)=2^x+1，

∴g(x)=，

h(x)=，

由=t，则t∈R，

平方得t²=，

∴g(2x)=2^2x+=t²+2，

∴p(t)=t²+2mt+m²-m+1。

(2)∵t=h(x)对于x∈[1，2]单调递增，

∴，

p(t)=t²+2mt+m²-m+1≥m²-m-1对于t∈恒成立，

∴m≥-对于t∈恒成立，

令φ(t)=-，则φ′(t)=，

∵t∈，∴φ′(t)=＜0，

故φ(t)=-在t∈上单调递减，

∴φ(t)_max=，

∴m≥为m的取值范围．

(3)由(1)得p(p(t))=[p(t)]²+2mp(t)+m²-m+1，

若p(p(t))=0无实根，即[p(t)]²+2mp(t)+m²-m+1=0①无实根，

方程①的判别式△=4m²-4(m²-m+1)=4(m-1)，

1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根；

2°当方程①的判别式△≥0，

即m≥1时，方程①有两个实根p(t)=t²+2mt+m²-m+1=-m±，

即t²+2mt+m²+1±=0②，

只要方程②无实根，故其判别式△=4m²-4(m²+1±)＜0，

即得-1-＜0③，且-1+＜0④，

∵m≥1，③恒成立，

由④解得m＜2，

∴③④同时成立得1≤m＜2；

综上，m的取值范围为m＜2。