（1）an+1-an=

2+an

-

2+an-1

=

an-an-1

2+an + 2+an-1

（n≥2），

上式表明a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号，

∴a_n+1-a_n，a_n-a_n-1，a_n-1-a_n-2，…，a₂-a₁同号，

∵a＞2，

∴a²-a-2=（a-2）（a+1）＞0，

∴a²＞a+2，

∴a2=

a+2

＜a，a₂-a₁＜0．

∴a_n+1-a_n＜0，

故a_n+1＜a_n．

（2）∵an+1=bn+1+

1

bn+1

=

2+an

=

2+bn+ 1 bn

，

bn+12+

1

bn+1 2

=bn+

1

bn

，

bn+14-(bn+

1

bn

)bn+1 2+1=0，

注意到b_n＞1，

f(x)=x+

1

x

（x＞0），f′(x)=1-

1

x2

＞0，

∴f（x）在x＞1时为增函数，而f（bn+12）=f（b_n），

∴bn+12=bn，

∴2lgb_n+1=lgb_n，

∴

lgbn+1

lgbn

=

1

2

，

∴数列{lgb_n}是等比数列，

当a1=b1+

1

b1

=

3

2

2

，b1=

2

，lgb1=lg

2

，

lgbn=(

1

2

)n-1•lg

2

=(

1

2

)n•lg2，

∴bn=2(

1

2

)n，

an=bn+

1

bn

=2(

1

2

)n+2-(

1

2

)n．

（3）∵当n≥2时，an-2=

2+an-1

-2=

an-1-2

2+an-1 +2

，

上式表明：a_n-2与a_n-1-2同号，对一切n≥2成立，

∴a_n-2，a_n-1-2，…，a₂-2，a₁-2同号，

而a₁-2＞0，

∴a_n-2＞0，a_n-1-2＞0，

∵n≥2时，an-2=

an-1-2

2+an-1+2

＜

an-1-2

2+2 +2

=

an-1-2

4

，

∴

an-2

an-1-2

＜

1

4

，

∴

an-2

an-1-2

•

an-1-2

an-2-2

…

a3-2

a2-2

•

a2-2

a1-2

=

an-2

a1-2

＜(

1

4

)n-1，

∴0＜an-2＜(a1-2)•(

1

4

)n-1，

当a₁=2011，n=12时，

a12-2=(2011-2)×(

1

4

)12-1=

2009

222

＜

211

222

=

1

2 11

＜

1

2011

，

∴a12＜2+

1

2011

，

∵a_n＞a_n+1，

∴当n≥12时，2＜a_n＜2+

1

2011

恒成立．