已知A，B是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)和双曲线x2a2-y2b2=

问题填空题

已知A，B是椭圆

=1(a＞b＞0)和双曲线

=1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足

=λ(

)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k₁，k₂，k₃，k₄，k₁+k₂=5，则k₃+k₄=______．

答案

∵A，B是椭圆

=1(a＞b＞0)和双曲线

=1(a＞0，b＞0)的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．

设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵

=λ(

)，其中λ∈R，∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化为x₁y₂=x₂y₁．

∵P、M都异于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴

．

由k₁+k₂=

x1+a

x1-a

=5，化为

2x1y1

x12-a2

=5，（*）

又∵

x12

y12

=1，∴

x12-a2

y12

，代入（*）化为

5a2

2b2

．

k₃+k₄=

x2+a

x2-a

2x2y2

x22-a2

，又

x22

y22

=1，

∴

x22-a2

y22

，

∴k₃+k₄=-

2b2

5a2

2b2

=-5．

故答案为-5．