问题
解答题
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)=0，且方程f(x)=x有两个相等实根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．
答案
解：(1)方程f(x)=x，即ax2+bx=x，亦即ax2+(b-1)x=0，
由方程有两个相等实根，得Δ=(b-1)2-4a×0=0，
∴b=1，①
由f(2)=0，得4a+2b=0，②
由①、②得，a=-
，b=1，
故f(x)=-
x2+x。
(2)假设存在实数m、n满足条件，由(1)知，
f(x)=-
x2+x=-
(x-1)2+≤
，则2n≤
，即n≤
，
∵f(x)=-
(x-1)2+
的对称轴为x=1，
∴当n≤
时，f(x)在[m，n]上为增函数，
于是有
，即
，
∴
，
又m＜n≤
，
∴
，
故存在实数m=-2，n=0，使f(x)的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]．