问题
解答题
| 设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点 （1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标 （2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆
求证：点Q落在双曲线4x2-4y2=1上 （3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=
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答案
（1）当a=1，b=2，p=2时，
解方程组
得x2=4y y=2x
即点Q的坐标为（8，16）（3分）x=8 y=16
（2）证明：由方程组
得x2=
y1 ab y=bx x= 1 a y= b a
即点Q的坐标为(
，1 a
)（5分）b a
∵P时椭圆上的点，即
+b2=1a2 4
∴4(
)2-4(1 a
)2=b a
(1-b2)=1，4 a2
因此点Q落在双曲线4x2-4y2=1上（8分）
（3）设Q所在的抛物线方程为y2=2q（x-c），q≠0（10分）
将Q(
，1 a
)代入方程，得b a
=2q(b2 a2
-c)，即b2=2qa-2qca2（12分）1 a
当c=0时，b2=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；
当qc=
时，(a-1 2
)2+b2=1 2c
，此时点P的轨迹落在圆上；1 4c2
当qc＞0且qc≠
时，1 2
+(a-
)21 2c 1 4c2
=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；b2 q 2c
当qc＜0时
-(a-
)21 2c 1 4c2
=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）b2 (-
)q 2c