已知等比数列{an}中，a4-a2=a2+a3=24．记数列{an}的前n项和为

问题解答题

已知等比数列{a_n}中，a₄-a₂=a₂+a₃=24．记数列{a_n}的前n项和为S_n
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．求：

-2bn的值．

答案

（I）设等比数列的首项为a₁，公比为q，因为a₄-a₂=a₂+a₃=24．

所以a₁q³-a₁q=a₁q+a₁q²=24，解得q=2或q=-1

若q=-1，则a₁q³-a₁q=0，所以q=-1（舍去），

∴q=2，a₁=4，

数列{a_n}是等比数列，首项为4，公比为2，它的通项公式为：4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．

（II）求数列{a_n}的前n项和为：Sn=

4(1-2n)

1-2

=4(2n-1)，

数列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．

所以b_n+1+b_n+2T_n-1=2T_n-1+1+2b_n，所以b_n+1-b_n=1，

所以数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为1，所以b_n=n，

-2bn=

4(2n-1)

-2n=2•2ⁿ-2+2ⁿ=2ⁿ-2．