问题 解答题

已知函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称。

(1)求b的值;

(2)若f(x)在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定义域和值域。

答案

解:(1)f′(x)=3x2+2bx+c

因为函数f′(x)的图象关于直线x=2对称,

所以=2,于是b=-6。

(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+cx

f′(x)=3x2-12x+c=3(x-2)2+c-12

(i)当c≥12时,f′(x)≥0,此时f(x)无极值

(ii)当c<12时,f′(x)=0有两个互异实根x1,x2

不妨设x1<x2,则x1<2<x2

当x<x1时,f′(x)>0,f(x)在区间(-∞,x1)内为增函数;

当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)在区间(x1,x2)内为减函数;

当x>x2时,f′(x)>0,f(x)在区间(x2,+∞)内为增函数

所以f(x)在x=x1处取极大值,在x=x2处取极小值

因此,当且仅当c<12时,函数f(x)在x=x2处存在唯一极小值,

所以t=x2>2

于是g(t)的定义域为(2,+∞)

由f′(t)=3t2-12t+c=0得c=-3t2+12t

于是g(t)=f(t)=t3-6t2+ct=-2t3+6t2,t∈(2,+∞)

当t>2时,g′(t)=-6t2+12t=6t(2-t)<0

所以函数g(t)在区间(2,+∞)内是减函数,

故g(t)的值域为(-∞,8)。

单项选择题 A3/A4型题
单项选择题