问题
填空题
设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3）是曲线C上除去原点外的不同三点，且
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答案
（1）设N（x，y），由
=2MN
，得点P为线段MN的中点，∴P（0，MP
），M（-x，0），y 2
∴
=（-x，-PM
），y 2
=（1，-PF
）．y 2
由
•PM
=-x+PF
=0，得y2=4x．y2 4
即点N的轨迹方程为y2=4x．
（2）由抛物线的定义，知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，|DF|=x3+1，
∵
，|AF|
，|BF|
成等差数列，|DF|
∴2x2+2=x1+1+x3+1，即x2=
．x1+x3 2
∵线段AD的中点为（
，x1+x3 2
），且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0），y1+y3 2
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k=
．y1+y3 2
-3x1+x3 2
又kAD=
，∴•y3-y1 x3-x1
•y3-y1 x3-x1
=-1，y1+y3 x1+x3-6
即
=-1．4x3-4x1 (x32-x12)-6(x3-x1)
∵x1≠x3，∴x1+x3=2，又x2=
，∴x2=1．x1+x3 2
∵点B在抛物线上，
∴B（1，2）或（1，-2）．