已知抛物线C1：y2=4px（p＞0），焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆

问题解答题

已知抛物线C₁：y²=4px（p＞0），焦点为F₂，其准线与x轴交于点F₁；椭圆C₂：分别以F₁、F₂为左、右焦点，其离心率e=

；且抛物线C₁和椭圆C₂的一个交点记为M．
（1）当p=1时，求椭圆C₂的标准方程；
（2）在（1）的条件下，若直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，且与抛物线C₁相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF₁F₂的周长，求直线l的方程．

答案

（1）当p=1时，F₂（1，0），F₁（-1，0）

设椭圆C₂的标准方程为

=1（a＞b＞0），∴c=1，

∵c²=a²-b²，∴a=2，b=

故椭圆C₂的标准方程为

=1..（4分）

（2）（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则l：x=1，且A（1，2），B（1，-2），∴|AB|=4

又∵△MF₁F₂的周长等于|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6≠|AB|

∴直线l的斜率必存在．（6分）

（ⅱ）设直线l的斜率为k，则l：y=k（x-1）

由

y2=4x

y=k(x-1)

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0

∵直线l与抛物线C₁有两个交点A，B

∴△=[-（2k²+4）]²-4k⁴=16k²+16＞0，且k≠0

设则可得x1+x2=

2k2+4

，x₁x₂=1

于是|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

(1+k2)[(2+

)2-4]

(1+k2)(

)

4(1+k2)

∵△MF₁F₂的周长等于|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6

∴由

4(1+k2)

=6，解得k=±

故所求直线l的方程为y=±

(x-1)．（12分）