已知实数列{an}是等比数列，其中a7=1，且a4，a5+1，a6成等差数列．

问题解答题

已知实数列{a_n}是等比数列，其中a₇=1，且a₄，a₅+1，a₆成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和记为S_n，证明：S_n＜128（n=1，2，3，…）．

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q（q∈R），

由a₇=a₁q⁶=1，得a₁=q^-6，从而a₄=a₁q³=q^-3，a₅=a₁q⁴=q^-2，a₆=a₁q⁵=q^-1．

因为a₄，a₅+1，a₆成等差数列，所以a₄+a₆=2（a₅+1），

即q^-3+q^-1=2（q^-2+1），q^-1（q^-2+1）=2（q^-2+1）．

所以q=

．故an=a1qn-1=q-6•qn-1=64(

)n-1．

（Ⅱ）Sn=

a1(1-qn)

1-q

64[1-(

)n]

=128[1-(

)n]＜128．