已知等比数列{an}中，a2=2，a5=128．（1）求通项an；（2）若b

问题解答题

已知等比数列{a_n}中，a₂=2，a₅=128．

（1）求通项a_n；

（2）若b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足不等式S_n＜2012的n的最大值．

答案

（1）∵数列{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=128

∴

a1q=2

a1q4=128

，解得

a1=

q=4

．

于是an=a1qn-1=

×4n-1=22n-3；

（2）因为an=22n-3，

由b_n=log₂a_n，可得bn=log2an=log222n-3=2n-3．

所以b_n-b_n-1=（2n-3）-[2（n-1）-3]=2．

所以数列{b_n}是一个以-1为首项，2为公差的等差数列．

于是Sn=-n+

n(n-1)

×2=n2-2n．

因为S_n＜2012，即n²-2n＜2012，即n²-2n-2012＜0

解得

4+4×2012

＜n＜

4+4×2012

，即1-

2013

＜n＜1+

2013

．

经过估算，得到n的最大值为45．