问题 解答题
已知椭圆
x2
2
+y2=1

(1)求过点P(
1
2
1
2
)
且被点P平分的弦所在直线的方程;
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过点A(2,1)引直线与椭圆交于B、C两点,求截得的弦BC中点的轨迹方程.
答案

(1)设过点P(

1
2
1
2
)且被点P平分的弦与椭圆交与A(x1,y1),B(x2,y2)点,

x1+x2
2
=
1
2
y1+y2
2
=
1
2

∵A,B在椭圆上,∴

(x1)2
2
+(y1)2=1①
(x2)2
2
+(y2)2=1

②-①得,

x2-x1
2
+(y2-y1)=0

y2-y1
x2-x1
=-
x2+x1
2(y2+y1)
=-
1
2

即,弦AB的斜率为-

1
2

∴方程为y-

1
2
=-
1
2
(x-
1
2

y=-

1
2
x+
3
4

(2)设斜率为2的平行弦的中点坐标为(x,y),

则根据中点弦的斜率公式,有-

x
2y
=2

y=-

x
4
(-
4
3
<x<
4
3
)

(3)当过点A(2,1)引的直线斜率存在时,设方程为y-1=k(x-2),

代入椭圆方程,消y,得(

1
2
+k2)x2+2(1-2k)kx+4k2-4k=0

∴x1+x2=

2k(2k-1)
1
2
+k2
,y1+y2=
-2k+1
1
2
+k2

设弦BC中点坐标为(x,y),则x=

x1+x2
2
=
k(2k-1)
1
2
+k2
,y=
y1+y2
2
=
-2k+1
2(
1
2
+k2)

x
y
=-2k

又∵k=

y-1
x-2
,∴
x
y
=-
2(y-1)
x-2
,整理得x2-2x+2y2-2y=0

当过点A(2,1)引的直线斜率不存在时,方程为x=2,与椭圆无交点

∴所求弦BC中点的轨迹方程为x2-2x+2y2-2y=0.

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