问题
解答题
已知椭圆
(1)求过点P(
(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (3)过点A(2,1)引直线与椭圆交于B、C两点,求截得的弦BC中点的轨迹方程. |
答案
(1)设过点P(
,1 2
)且被点P平分的弦与椭圆交与A(x1,y1),B(x2,y2)点,1 2
则
=x1+x2 2
,1 2
=y1+y2 2 1 2
∵A,B在椭圆上,∴
+(y1)2=1①(x1)2 2
+(y2)2=1②(x2)2 2
②-①得,
+(y2-y1)=0x2-x1 2
=-y2-y1 x2-x1
=-x2+x1 2(y2+y1) 1 2
即,弦AB的斜率为-1 2
∴方程为y-
=-1 2
(x-1 2
)1 2
即y=-
x+1 2 3 4
(2)设斜率为2的平行弦的中点坐标为(x,y),
则根据中点弦的斜率公式,有-
=2x 2y
y=-
(-x 4
<x<4 3
)4 3
(3)当过点A(2,1)引的直线斜率存在时,设方程为y-1=k(x-2),
代入椭圆方程,消y,得(
+k2)x2+2(1-2k)kx+4k2-4k=01 2
∴x1+x2=
,y1+y2=2k(2k-1)
+k21 2
,-2k+1
+k21 2
设弦BC中点坐标为(x,y),则x=
=x1+x2 2
,y=k(2k-1)
+k21 2
=y1+y2 2
,-2k+1 2(
+k2)1 2
∴
=-2kx y
又∵k=
,∴y-1 x-2
=-x y
,整理得x2-2x+2y2-2y=02(y-1) x-2
当过点A(2,1)引的直线斜率不存在时,方程为x=2,与椭圆无交点
∴所求弦BC中点的轨迹方程为x2-2x+2y2-2y=0.