已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为4．（1）若以原点为圆

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的长轴长为4．
（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k_PM，k_PN，当kPM•kPN=-

时，求椭圆的方程．

答案

（1）由b=

1+1

得b=

…（2分）

又因为2a=4，

所以a=2，又a²=4，b²=2…（4分）

所以c²=a²-b²=2，

∴两个焦点坐标为(

，0)，(-

，0)…（6分）

（2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称

不妨设：M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y）

因为M，N，P在椭圆上，

所以它们满足椭圆方程，即有

=1，

两式相减得：

y2-

x2-

．…（8分）

由题意它们的斜率存在，则kPM=

y-y0

x-x0

，kPN=

y+y0

x+x0

…（10分）

kPM•kPN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

y2-

x2-

则-

，由a=2得b=1

故所求椭圆的方程为

+y2=1…（12分）