（1）∵直线L的斜率为1且过点F（1，0），∴直线L的方程为y=x-1，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=x-1 y2=4x

消去y得x²-6x+1=0，△＞0，

∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．

∴|AB|=x₁+x₂+p=8．

（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，联立

x=ky+1 y2=4x

消去x得y²-4ky-4=0．△＞0，

∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，

设A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），则

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)．

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+1）（ky₂+1）+y₁y₂

=k²y₁y₂+k（y₁+y₂）+1+y₁y₂=-4k²+4k²+1-4=-3．

∴

OA

•

OB

=-3是一个定值．