问题
解答题
已知椭圆C1：
（I）求椭圆C1的方程； （Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线7x-7y+1=0上，求直线AC的方程． |
答案
（I）设点M为（x1，y1），
∵F2是抛物线y2=4x的焦点，
∴F2（1，0）；
又|MF2|=
，由抛物线定义知5 3
x1+1=
，即x1=5 3
；2 3
由M是C1与C2的交点，
∴y12=4x1，即y1=±
，这里取y1=2 6 3
；2 6 3
又点M（
，2 3
）在C1上，2 6 3
∴
+4 9a2
=1，且b2=a2-1，8 3b2
∴9a4-37a2+4=0，∴a2=4或a2=
＜c2（舍去），1 9
∴a2=4，b2=3；
∴椭圆C1的方程为：
+x2 4
=1y2 3
（II）∵直线BD的方程为：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
不妨设直线AC的方程为x+y=m，
则x+y=m
+x2 4
=1y2 3
∴消去y，得7x2-8mx+4m2-12=0；
∵点A、C在椭圆C1上，
∴（-8m）2-4×7×（4m2-12）＞0，即m2＜7，∴-
＜m＜7
；7
设A（x1，y1），C（x2，y2），
则x1+x2=
，y1+y2=（-x1+m）+（-x2+m）=-（x1+x2）+2m=-8m 7
+2m=8m 7
，6m 7
∴AC的中点坐标为(
，4m 7
)，3m 7
由菱形ABCD知，点(
，4m 7
)也在直线BD：7x-7y+1=0上，3m 7
即7×
-7×4m 7
+1=0，∴m=-1，由m=-1∈(-3m 7
，7
)知：7
直线AC的方程为：x+y=-1，即x+y+1=0．