设过点P（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1

（1）当k存在时，有y=k（x-1）+1，x2-

y2

2

=1，

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    （1）

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有

△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，

又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标

∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

，又P（1，1）为线段AB的中点

∴

x1+x2

2

=1，即

k-k2

2-k2

=1，k=2．

∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0

因此当k=2时，方程（1）无实数解

故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在．

（2）当x=1时，直线经过点P但不满足条件，

综上，符合条件的直线l不存在．