问题 填空题
设点P是抛物线C:x2=2py(p>0)在第一象限内的任意一点,过P作抛物线C的切线l交x轴于点M,F为抛物线C的焦点,点Q满足
PM
=
1
2
PF
+
1
2
PQ
,若△PFQ是面积为
3
的等边三角形,则p的值为______.
答案

因为抛物线C:x2=2py,所以焦点F(0,

p
2
);

设P点坐标为P(n,

n2
2p
),

由x2=2py,得y=

x2
2p

y|x=n=

n
p

直线PM方程为:y-

n2
2p
=
p
n
(x-n),取y=0得与x轴交点M(
n
2
,0);

PM
=
1
2
PF
+
1
2
PQ
,则M为FQ连线的中点.

由中点坐标公式可得Q(n,-

p
2
);

因为△PFQ是等边三角形,故有PQ2=PF2=FQ2

由于S△PFQ=

3
2
PF2
2
=
3
4
PF2=
3
,∴PF=PQ=FQ=2.

PQ2=(

n2
2p
+
p
2
)2=
(n2+p2)2
2p2
=4,所以n2+p2=4p.

FQ2=n2+p2=22=4,与上式对比可知,p=1.

故答案为1.

单项选择题
多项选择题