问题
填空题
设点P是抛物线C:x2=2py(p>0)在第一象限内的任意一点,过P作抛物线C的切线l交x轴于点M,F为抛物线C的焦点,点Q满足
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答案
因为抛物线C:x2=2py,所以焦点F(0,
);p 2
设P点坐标为P(n,
),n2 2p
由x2=2py,得y=
,x2 2p
则y′|x=n=
.n p
直线PM方程为:y-
=n2 2p
(x-n),取y=0得与x轴交点M(p n
,0);n 2
由
=PM 1 2
+PF 1 2
,则M为FQ连线的中点.PQ
由中点坐标公式可得Q(n,-
);p 2
因为△PFQ是等边三角形,故有PQ2=PF2=FQ2.
由于S△PFQ=
•3 2
=PF2 2
PF2=3 4
,∴PF=PQ=FQ=2.3
PQ2=(
+n2 2p
)2=p 2
=4,所以n2+p2=4p.(n2+p2)2 2p2
FQ2=n2+p2=22=4,与上式对比可知,p=1.
故答案为1.