问题
解答题
已知椭圆方程为
(Ⅰ)求m的取值范围; (Ⅱ)求△MPQ面积的最大值. |
答案
(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+1,由
可得(k2+2)x2+2kx-1=0.y=kx+1
+x2=1y2 2
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=--2k k2+2
.1 k2+2
可得y1+y2=k(x1+x2)+2=
.…(3分)4 k2+2
设线段PQ中点为N,则点N的坐标为(
,-k k2+2
),2 k2+2
由题意有kMN•k=-1,可得
•k=-1.可得m=m- 2 k2+2 k k2+2
,k k2+1
又k≠0,所以0<m<
.…(6分)1 2
(Ⅱ)设椭圆上焦点为F,
则S△MPQ=
•|FM|•|x1-x2|=1 2
…(9分)2m(1-m)3
所以△MPQ的面积为2
(0<m<m(1-m)3
).1 2
设f(m)=m(1-m)3,则f'(m)=(1-m)2(1-4m)(0,
).1 4
可知f(m)在区间(0,
)单调递增,在区间(1 4
,1 4
)单调递减.1 2
所以,当(0,
)时,f(m)=m(1-m)3有最大值f(1 4
)=1 4
.27 256
所以,当时,△MPQ的面积有最大值
.…(12分)3 6 16