问题 解答题
已知椭圆方程为
y2
2
+x2=1
,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(Ⅰ)求m的取值范围;
(Ⅱ)求△MPQ面积的最大值.
答案

(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+1,由

y=kx+1
y2
2
+x2=1
可得(k2+2)x2+2kx-1=0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=

-2k
k2+2
x1x2=-
1
k2+2

可得y1+y2=k(x1+x2)+2=

4
k2+2
.…(3分)

设线段PQ中点为N,则点N的坐标为(

-k
k2+2
2
k2+2
),

由题意有kMN•k=-1,可得

m-
2
k2+2
k
k2+2
•k=-1.可得m=
k
k2+1

又k≠0,所以0<m<

1
2
.…(6分)

(Ⅱ)设椭圆上焦点为F,

S△MPQ=

1
2
•|FM|•|x1-x2|=
2m(1-m)3
…(9分)

所以△MPQ的面积为

2
m(1-m)3
0<m<
1
2
).

设f(m)=m(1-m)3,则f'(m)=(1-m)2(1-4m)(0,

1
4
).

可知f(m)在区间(0,

1
4
)单调递增,在区间(
1
4
1
2
)
单调递减.

所以,当(0,

1
4
)时,f(m)=m(1-m)3有最大值f(
1
4
)=
27
256

所以,当时,△MPQ的面积有最大值

3
6
16
.…(12分)

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