（1）∵点A在圆x²+y²=c²上，

∴△AF₁F₂为一直角三角形，

∵|F1A|=c，|F1F2|=2c，∴|F2A|=

|F1F2|2-|AF1|2

=

3

c

由椭圆的定义知：|AF₁|+|AF₂|=2a，∴c+2

3

c=2a

∴e=

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1

（2）∵函数y=

2

+logmx的图象恒过点(1，

2

)

∴a=

2

，b=1，c=1，

点F₁（-1，0），F₂（1，0），

①若AB⊥x轴，则A(-1，

2

2

)，B(-1，-

2

2

)，

∴

F2A

=(-2，

2

2

)，

F2B

=(-2，-

2

2

)，

F2A

•

F2B

=4-

1

2

=

7

2

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）

由

y=k(x+1) x2+2y2-2=0

消去y得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0（*）

∵△=8k²+8＞0，∴方程（*）有两个不同的实根．

设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x₁，x₂是方程（*）的两个根x1+x2=-

4k2

1+2k2

，x1x2=

2(k2-1)

1+2k2

F2A

=(x1-1，y1)，

F2B

=(x2-1，y2)，

F2A

•

F2B

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2

=(1+k2)

2(k2-1)

1+2k2

+(k2-1)(-

4k2

1+2k2

)+1+k2=

7k2-1

1+2k2

=

7

2

-

9

2(1+2k2)

∵1+2k2≥1，∴0＜

1

1+2k2

≤1，0＜

9

2(1+2k2)

≤

9

2

-1≤

F2A

•

F2B

=

7

2

-

9

2(1+2k2)

＜

7

2

，

由①②知-1≤

F2A

•

F2B

＜

7

2

．