已知椭圆方程为C：x22+y2=1，它的左、右焦点分别为F1、F2．点P（x0，

问题解答题

已知椭圆方程为C：

+y2=1，它的左、右焦点分别为F₁、F₂．点P（x₀，y₀）为第一象限内的点．直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0成立的条件（用k₁、k₂表示）．
（3）又已知点E为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，直线F₂E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足

F2E

，求p的最大值．

答案

（1）由题意，设椭圆上的点与两焦点连线的距离为m，n，夹角为α，则m+n=2

∴cosα=

m2+n2-4

2mn

-1

∵m+n=2

≥2

∴0＜mn≤2

∴

-1≥0

∴cosα≥0

∴当m=n时，椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为90°；

（2）设直线PF₁、PF₂的方程分别为y=k₁（x+1），y=k₂（x-1），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），

联立直线PF₁和椭圆的方程化简得（2k₁²+1）x²+4k₁²x+2k₁²-2=0，

因此x_A+x_B=-

4k12

2k12+1

，x_Ax_B=

2k12-2

2k12+1

，所以k_OA+k_OB=

2k1

k12-1

同理可得：k_OC+k_OD=-

2k2

k22-1

，

故由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0得k₁+k₂=0或k₁k₂=1；

（3）F₂（1，0），设G（x₀，y₀），（-

≤x0≤0），则

∵

F2E

，∴x_E=

x0+2

，y_E=

，

∵E为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，

∴(

)2=2p•

x0+2

∵

x02

+y02=1

∴12p=

2-x02

x0+2

令t=x₀+2，则2-

≤t＜2

∴12p=-（t+

-4）≤-（2

-4），∴p≤

，当且仅当t=

时，取等号

∴x0=

-2时，p的最大值为

．