问题
解答题
设抛物线C：y=x2，F为焦点，l为准线，准线与y轴交点为H
（1）求|FH|；
（2）过点H的直线与抛物线C交于A，B两点，直线AF与抛物线交于点D．
①设A，B，D三点的横坐标分别为x1，x2，x3，计算：x1•x2及x1•x3的值；
②若直线BF与抛物线交于点E，求证：D，E，H三点共线．
答案
（1）∵抛物线C：y=x2，F为焦点，l为准线，准线与y轴交点为H
∴|FH|=
；1 2
（2）①设直线AB方程：y=kx-
，直线AD方程：y=kx+1 4 1 4
由
，可得x2-kx+y=x2 y=kx- 1 4
=0，∴x1•x2=1 4 1 4
由
，可得x2-kx-y=x2 y=kx+ 1 4
=0，∴x1•x3=-1 4 1 4
②设D（-
，1 4x1
），E（-1 16x12
，1 4x2
），则kDE=1 16x22
=-
-1 16x22 1 16x12 -
+1 4x2 1 4x1
-1 4x2
，1 4x1
kEH=
=--
-1 4 1 16x22 1 4x2
-x2=-1 4x2
-1 4x2 1 4x1
∴kDE=kEH
∴D，E，H三点共线．
