过定点A（1，0）的动圆M与定圆B：（x+1）2+y2=8内切（圆心为B）．（

问题解答题

过定点A（1，0）的动圆M与定圆B：（x+1）²+y²=8内切（圆心为B）．

（1）求动圆圆心M的轨迹方程；

（2）设点N（0，1），是否存在直线l交M的轨迹于P，Q两点，使得△NPQ的垂心恰为点A．若存在，求出该直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设M（x，y），由题意得|MB|=2

-|MA|，即|MA|+|MB|=2

＞|AB|=2，

由椭圆的定义可得：点M的轨迹是以A（1，0），B（-1，0）为焦点的椭圆，

且2a=2

，2c=2，解得a=

，c=1，b²=a²-c²=1．

故动圆圆心M的轨迹方程为

+y2=1．

（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

∵A是垂心，∴kl=-

kNA

=1，

设直线l的方程为y=x+m，联立

y=x+m

+y2=1

．

消去y整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0，

∴x1+x2=-

，x1x2=

2(m2-1)

，又AP⊥NQ，

∴

•

=0，∴（x₁-1，x₁+m）•（x₂，x₂+m-1）=0，整理为2x₁x₂+（m-1）（x₁+x₂）+m（m-1）=0，

∴

4(m2-1)

+(m-1)(-

)+m(m-1)=0，解之得m=1（舍去）或m=-

．

经检验m=-

符合题意，故存在符合题意的直线l：y=x-

．