问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，线段AB与y轴交于点F（0，
（1）证明：对任意的实数k，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程； （2）对（1）中的抛物线C，若直线l：y=x+m（m＞0）与其交于M、N两点，求∠MON的取值范围． |
答案
（1）由已知设lAB：y=kx+
①1 2
又设抛物线C：x2=ay（a＞0）②
由①②得x2-akx-
=0（2分）a 2
设A（xA，yA），B（xB，yB），，则xA•xB=-a 2
由弦长公式得|AF|=
|xA-0|=1+k2
|xA|1+k2
|BF|=
|xB-0|=1+k2
|xB|（4分）1+k2
∴|AF|•|BF|=（1+k2）×|
|a 2
而|AF|•|BF|=1+k2，所以a=2，即抛物线方程为C：x2=2y（6分）
（2）设M（xM，yM），N（xN，yN），由
⇒x2-2x-2m=0y=x+m x2=2y
而△4+8m＞0（m＞0）
则xM+xN=2，xM•xN=-2m，
kOM=1+
，kON=1+m xM
（7分）m xN
不妨设xM＜xN，由于m＞0，则xM＜0＜xN
令∠mon=θ≠
，则ON到OM的角为θ，且满足π 2
tanθ=
=kOM-kON 1+kOM•kON
(m≠2)（9分）2 1+2m m-2
令t=
，则m=1+2m
，t＞1且t≠t2-1 2 5
∴tanθ=
=4t t2-5 4 t+ -5 t
函数y=x与y=
在（0，+∞）上皆为增函数-5 x
∴t-
∈（-4，0）∪（0，+∞）5 t
∴
∈（-∞，-1）∪（0，+∞）（11分）4 t+ -5 t
则θ∈（0，
）∪（π 2
，π 2
），又m=2时，∠MON=θ=3π 4 π 2
∴∠MON∈（0，
）（13分）3π 4