已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*， (Ⅰ)证

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N*，

(Ⅰ)证明：{a_n-1}是等比数列；

(Ⅱ)求数列{S_n}的通项公式．请指出n为何值时，S_n取得最小值，并说明理由．

答案

(Ⅰ)证明：当n=1时，a₁=S₁=1-5a₁-85，

解得a₁=-14，则a₁-1=-15，

当n≥2时，S_n-1=(n-1)-5a_n-1-85，

∴a_n=S_n-S_n-1=1-5a_n+5a_n-1，

∴6a_n=5a_n-1+1，即，

∴{a_n-1}是首项为-15，公比为的等比数列．

(Ⅱ)解：，

∴，

当n≥2时，设，

即，解得n＞≈15.85，

当2≤n≤15时，S_n＜S_n-1；

当n≥16时，S_n＞S_n-1；

故n=15时，S_n取得最小值。