已知如图，直线l：x=-p2（p＞0），点F(p2，0)，P为平面上的动点，过P

问题解答题

已知如图，直线l：x=-

（p＞0），点F(

，0)，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且

•

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当p=2时，曲线C上存在不同的两点关于直线y=kx+3对称，求实数k满足的条件（写出关系式即可）；
（3）设动点M （a，0），过M且斜率为1的直线与轨迹C交于不同的两点A，B，线段AB的中垂线与x轴交于点N，当|AB|≤2p时，求△NAB面积的最大值．

答案

（1）设点P坐标为P（x，y），则点Q坐标为Q（-

，y)

则

=(x+

，0)，

=(p，-y)，

=(x-

，y)，

=(-p，y)（2分）

由

•

．得：y²=2px（p＞0）（4分）

（2）p=2时，y²=4x．

设曲线C上关于直线y=kx+3对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则直线AB所在直线方程为x+ky+n=0，（n为常数）．

代入y²=4x得y²+4ky+4n=0

△=（4k）²-16n＞0即k²-n＞0（3分）

又∵AB中点M在直线y=kx+3上，

则（2k²-n，-2k）代入y=kx+3得-2k=2k³-nk+3（5分）

∴

k2-n＞0

-2k=2k3-nk+3

即k2+

+2＜0．（6分）

（3）联立

y=x-a

y2=2px

⇒y²-2px-2pa=0，

∵△=4p²+8pa＞0⇒a＞-

（1分）

∴|AB|=

|x1-x2|=

|y1-y2|=

(2p)2+8pa

≤2p

∴a≤-

∴-

＜a≤-

．（2分）

AB中垂线y-p=-（x-a-p），即y=-x+a+2p

令y=0，x=a+2p

∴h=

|2p|

p（3分）

∴S△=

•

(2p)2+8pa

4p2+8pa

（4分）

在(-

单调递增（5分）

当a=-

时，Smax=

p2．（6分）