问题
解答题
已知线段CD=2
（1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程； （2）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且OA⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值． |
答案
（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系
若AC+AD=2a＜2
，即0＜a＜3
，动点A所在的曲线不存在；3
若AC+AD=2a=2
，即a=3
，动点A所在的曲线方程为y=0(-3
≤x≤3
)；3
若AC+AD=2a＞2
，即a＞3
，动点A所在的曲线方程为3
+x2 a2
=1（4分）y2 a2-3
（2）当a=2时，其曲线方程为椭圆
+y2=1x2 4
由条件知A，B两点均在椭圆
+y2=1上，且OA⊥OBx2 4
设A（x1，y1），B（x2，y2），OA的斜率为k（k≠0），
则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-
x，解方程组1 k
，得y=kx
+y2=1x2 4
=x 21
，4 1+4k2
=y 21 4k2 1+4k2
同理可求得
=x 22
，4k2 k2+4
=y 22
，4 k2+4
△AOB面积S=1 2
|x1|1+k2
|x2|=21+ 1 k2
（8分）(1+k2)2 (1+4k2)(k2+4)
令1+k2=t（t＞1）则S=2
=2t2 4t2+9t-9 1 -
+9 t2
+49 t
令g(t)=-
+9 t2
+4=-9(9 t
-1 t
)2+1 2
(t＞1)所以4＜g(t)≤25 4
，即25 4
≤S＜14 5
当k=0时，可求得S=1，故
≤S≤1，故S的最小值为4 5
，最大值为1（12分）4 5
