问题
解答题
已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)相交于B、C两点.当l的斜率是
(1)求抛物线C的方程; (2)设BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围. |
答案
(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知k1=
时,l方程为y=1 2
(x+4)即x=2y-4.1 2
由
得2y2-(8+p)y+8=0x2=2py x=2y-4
①②∴y1y2=4 y1+y2= 8+p 2
又∵
=4AC
,∴y2=4y1③AB
由①②③及p>0得:y1=1,y2=4,p=2,即抛物线方程为:x2=4y.
(2)设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0)
由
得:x2-4kx-16k=0④x2=4y y=k(x+4)
∴x0=
=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.xA+xB 2
∴BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-
(x-2k)1 k
∴BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2
对于方程④由△=16k2+64k>0得:k>0或k<-4.
∴b∈(2,+∞)