问题
解答题
在以坐标轴为对称轴的椭圆上，O为坐标原点，A为右顶点，F为右焦点，过F作MN∥y轴，交椭圆于M，N两点，若|MN|=3，椭圆的离心率是方程2x2-5x+2=0的根．
（1）求椭圆的方程；
（2）若此椭圆的长轴不变，当以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆上时，求椭圆短半轴长b的取值范围．
答案
（1）由已知得，
，∴a=2，c=1，b=
=c a 1 2
=32b2 a 3
故椭圆C的方程为
+x2 4
=1y2 3
（2）设椭圆方程为
+x2 4
=1（b＞0），则令P（2cosα，bsinα）（0＜cosα＜1）y2 b2
∵以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆
∴
×bsinα 2cosα
=-1bsinα 2cosα-2
∴令t=cosα（0＜t＜1），则b2=
=t-t2 1-t2
1-t 1+t 1 1+t
∵0＜t＜1，∴0＜b2＜1 2
∵b＞0，∴0＜b＜2 2