已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F和椭圆x24+y23=1的右焦点重合

问题解答题

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F和椭圆

=1的右焦点重合，直线l过点F交抛物线于A、B两点，点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为点D、E．
（Ⅰ）求抛物线C的过程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

，

，对任意的直线l，m+n是否为定值？若是，求出m+n的值，否则，说明理由．

答案

（Ⅰ）∵椭圆的右焦点F（1，0），∴

=1，p=2，

∴抛物线C的方程为y²=4x（3分）

（Ⅱ）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：y=k（x-1），l与y轴交于M（0，-k），设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

由

y=k(x-1)

y2=4x

⇒k2x2-2(k2+2)x+k2=0

∴△=4（k²+2）²-4k⁴=16（k²+1）＞0

∴x1+x2=

2k2+4

，x1•x2=1（7分）

又由

，∴（x₁，y₁+k）=m（1-x₁，-y₁），∴x₁=m（1-x₁），

即m=

1-x1

，同理n=

1-x2

，（9分）

∴m+n=

1-x1

1-x2

x1+x2-2x1•x2

1-(x1+x2)+x1•x2

=-1

所以，对任意的直线l，m+n为定值-1（12分）