问题
解答题
根据抛物线的光学原理：一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点．然后求解此题：抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，一水平光线射到A点后，反射光线会平行y轴，一水平光线射到B点后，反射光线所在直线的斜率为 -
（Ⅰ）求直线AB的方程． （Ⅱ）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积． |
答案
（1）由已知得焦点F（1，0），
且FA⊥x轴，
∴A （1，2），
同理kFB=-
，4 3
得到B（4，-4），
所以直线AB的方程为2x+y-4=0．（6分）
（2）法一：设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x0，y0），
且1≤x0≤4，-4≤y0≤2．
则点P到直线AB的距离d=
=|2x0+y0-4| 1+4
=|2×
+y0-4|y 20 4 5
，|
(y0+1)2-1 2
|9 2 5
所以当y0=-1时，d取最大值
，9 5 10
又|AB|=3
（10分）5
所以△PAB的面积最大值为S=
×31 2
×5
=27，9 5 10
此时P点坐标为(
，-1)．（12分）1 4
法二：由
⇒y2+2y+2m=0⇒△=4-8m=0⇒m=2x+y+m=0 y2=4x
，1 2
∴dmax=
=|
-(-4)|1 2 5
，9 5 10
∴△PAB的面积最大值为S=
×31 2
×5
=27，9 5 10
此时P点坐标为(
，-1)．1 4