问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：
①当x∈R时，函数的最小值为0，且f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）成立；
②当x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立．求：
（1）f（1）的值；
（2）函数f（x）的解析式；
（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立．
答案
解：（1）∵x∈（0，5）时，都有x≤f（x）≤2|x﹣1|+1恒成立，
∴1≤f（1）≤2|1﹣1|+1=1，
∴f（1）=1；
（2）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），
∴f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，
∴﹣
=﹣1，b=2a．
∵当x∈R时，函数的最小值为0，
∴a＞0，f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）的对称轴为x=﹣1，
∴f（x）min=f（﹣1）=0，
∴a=c． ∴f（x）=ax2+2ax+a．
又f（1）=1，
∴a=c=
，b= 
．
∴f（x）=
x2+
x+
= 
（x+1）2．
（3）∵当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立，
∴f（1+t）≤1，即 （1+t+1）2≤1，解得：﹣4≤t≤0．
而y=f（x+t）=f[x﹣（﹣t）]是函数y=f（x）向右平移（﹣t）个单位得到的，
显然，f（x）向右平移的越多，直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标越大，
∴当t=﹣4，﹣t=4时直线y=x与二次曲线y=f（x+t）的右交点的横坐标最大．
∴ （m+1﹣4）2≤m，
∴1≤m≤9，
∴mmax=9．