问题
解答题
已知动点P（p，-1），Q（p，1+
（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线． |
答案
（1）直线l的方程是：y-1-
=p2 2
(x-p)，即y=p 2
x+1，经过定点（0，1）；p 2
又M（p，
），设x=p，y=p2 4
，消去p，得到的轨迹方程为：y=p2 4
．x2 4
由
有x2-2px-4=0，其中△=4p2+16，所以l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点y= x2 4 y=
x+1p 2
（2）由x2-2px-4=0，设A（p+
，p2+4
），(p+
)2p2+4 4
则kAP=
=
+1(p+
)2p2+4 4 p2+4
，p+ p2+4 2
又函数y=
的导函数为y=x2 4
，故A处的切线的斜率也是x 2
，从而AP是曲线C的切线．对于另一个解同样可证．p+ p2+4 2