问题 解答题
已知直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=4
(1)如果l与C只有一个公共点,求k的值;
(2)如果l与C的左右两支分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且|x1-x2|=2
5
,求k的值.
答案

(1)根据题意:

y=kx-1
x2-y2=4

消去y整理得(1-k2)x2+2kx-5=0,

①当1-k2≠0时,由题意可知,△=0,即4k2+20(1-k2)=0

∴k=±

5
2

②当1-k2=0即k=±1时,方程(1-k2)x2+2kx-5=0,有一个根即直线与双曲线有一个公共点,满足条件

综上可得,k=±1,或k=±

5
2

(2)由直线l与C的左右两支分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,可得x1<0,x2>0

|x1-x2|=2

5

x2-x1=2

5

x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2
=
(
2k
1-k2
)
2
-4•
-5
1-k2
=2
5

整理可得k2(5k2-6)=0

∴k=0或k=±

30
5

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