问题
解答题
已知直线l:y=kx-1与双曲线C:x2-y2=4 (1)如果l与C只有一个公共点,求k的值; (2)如果l与C的左右两支分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且|x1-x2|=2
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答案
(1)根据题意:y=kx-1 x2-y2=4
消去y整理得(1-k2)x2+2kx-5=0,
①当1-k2≠0时,由题意可知,△=0,即4k2+20(1-k2)=0
∴k=±5 2
②当1-k2=0即k=±1时,方程(1-k2)x2+2kx-5=0,有一个根即直线与双曲线有一个公共点,满足条件
综上可得,k=±1,或k=±5 2
(2)由直线l与C的左右两支分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,可得x1<0,x2>0
∵|x1-x2|=25
∴x2-x1=25
∵x2-x1=
=(x1+x2)2-4x1x2
=2(
)2-4•2k 1-k2 -5 1-k2 5
整理可得k2(5k2-6)=0
∴k=0或k=±30 5