问题
解答题
已知直线l1：ax-by+k=0；l2：kx-y-1=0，其中a是常数，a≠0．
（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．
（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．
答案
（1）由ax-by+k=0 kx-y-1=0
消去k，得y2-ax2=1
①当a＞0时，轨迹是双曲线，焦点为(0，±
)，离心率e=1+ 1 a
；1+ 1 a
②当-1＜a＜0时，轨迹是椭圆，焦点为(±
，0)，离心率e=-1- 1 a
；1+a
③当a=-1时，轨迹是圆，圆心为（0，0），半径为1；
④当a＜-1时，轨迹是椭圆，焦点为(0，±
)，离心率e=1+ 1 a 1+ 1 a
（2）当a＞0时，y≥1时，轨迹是双曲线y2-ax2=1的上半支．
∵|PA|2=x2+（y-b）2=
+y2-2by+b2y2-1 a
=
(y-a+1 a
)2+ab a+1 ab2-a-1 a(a+1)
①当b＞
时，|PA|的最小值为a+1 a
；ab2-a-1 a(a+1)
②当 b≤
时，|PA|的最小值为|1-b|a+1 a