在平面直角坐标系中，已知抛物线y2=2px（p＞0），过定点A（p，0

问题解答题

在平面直角坐标系中，已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点A（p，0）作直线交该抛物线于M、N两点．

（I）求弦长|MN|的最小值；

（II）是否存在平行于y轴的直线l，使得l被以AM为直径的圆所截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

答案

（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）

直线MN：x=my+p

①当m=0时，|MN|=2

②当m≠0时，联立y²=2px与x=my+p

得y²-2mpy-2p²=0⇒

y1+y2=2mp

y1y2=-2p2

⇒|MN|=2p

(m2+1)(m2+2)

＞2

比较①②知|MN|min=2

p（6分）

（II）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x₁，y₁），圆心为C（x₀，y₀）

l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得：

q=2

(

|MA|

)2-(x0-t)2

(x1-p)2+

x1+p

-t)2

(t-

)x1+pt-t2

当t=

时，q=p为定值

故存在这样的直线l，其方程为x=

（12分）