问题 填空题
已知函数f(x)=
1
3
x3-x2-3x+a+1
存在三个不同的零点,则实数a的取值范围是______.
答案

由题意可得:函数为f(x)=

1
3
x3-x2-3x+a+1,

所以f′(x)=x2-2x-3.

令f′(x)>0,则>x>3或x<-1,令f′(x)<0,则-1<x<3,

所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),减区间为(-1,3),

所以当x=-1时函数有极大值f(-1)=

8
3
+a,当x=3时函数有极小值f(3)=a-8.

因为函数f(x)=

1
3
x3-x2-3x+a+1存在三个不同的零点,

所以f(-1)=

8
3
+a>0并且f(3)=a-8<0,

解得:-

8
3
<a<8.

所以实数a的取值范围是 (-

8
3
,8).

故答案为(-

8
3
,8).

单项选择题
多项选择题