问题
解答题
给定曲线族2（2sinθ-cosθ+3）x2-（8sinθ+cosθ+1）y=0，θ为参数，求该曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．
答案
由联立y=2x与2（2sinθ-cosθ+3）x2-（8sinθ+cosθ+1）y=0
得2（2sinθ-cosθ+3）x2-（8sinθ+cosθ+1）2x=0．
解得x1=0，x2=
，8sinθ+cosθ+1 2sinθ-cosθ+3
要截得的弦最长，就必须x2的绝对值最大．
利用正、余弦函数有界性，上式变为：
（2x2-8）sinθ-（x2+1）cosθ=1-3x2
sin(θ+φ）=1-3x2；(2x2-8)2+(x2+1)2
因为|sin（θ+φ）|≤1，所以
≥|1-3x2|，5
-30x2+65x 22
-8≤x2≤2．
该曲线族在y=2x上截得弦长的最大值是t=
=22+1(x1-x2)2
=85×64 5