问题
解答题
椭圆C的中心在原点,并以双曲线
(1)求椭圆C的方程; (2)设直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C相交于A、B两点,使A、B两点关于直线l′:y=mx+1(m≠0)对称,求k的值. |
答案
(1)在双曲线
-y2 4
=1中,a=2,b=x2 2
,c=2
=a2+b2
,6
∴焦点为F1(0,-
),F2(,6
).6
在抛物线x2=-2
y中,p=6
,∴准线为y=6
.6 2
∴在椭圆中,
=a2 c
.从而a=3,b=6 2
.3
∴所求椭圆C的方程为
+y2 9
=1.x2 3
(2)设弦AB的中点为P(x0,y0),则点P是直线l与直线l′的交点,且直线l⊥l′,∴m=-
.1 k
由kAB•
=-y0 x0
得:k•a2 b2
=-3,∴ky0=-3x0.…①y0 x0
由y0=-
•x0+1得:ky0=-x0+k.…②1 k
由①、②得:x0=-
,y0=k 2
.3 2
又∵y0=kx0+2,∴
=-k•3 2
+2,即k2=1,∴k=±1.k 2
在y=kx+2中,当x=0时,y=2,即直线l经过定点M(0,2).
而定点M(0,2)在椭圆的内部,故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点,
∴k的值为±1.