问题 解答题
椭圆C的中心在原点,并以双曲线
y2
4
-
x2
2
=1
的焦点为焦点,以抛物线x2=-6
6
y
的准线到原点的距离为
a2
c

(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C相交于A、B两点,使A、B两点关于直线l′:y=mx+1(m≠0)对称,求k的值.
答案

(1)在双曲线

y2
4
-
x2
2
=1中,a=2,b=
2
,c=
a2+b2
=
6

∴焦点为F1(0,-

6
),F2(,
6
).

在抛物线x2=-2

6
y中,p=
6
,∴准线为y=
6
2

∴在椭圆中,

a2
c
=
6
2
.从而a=3,b=
3

∴所求椭圆C的方程为

y2
9
+
x2
3
=1.

(2)设弦AB的中点为P(x0,y0),则点P是直线l与直线l′的交点,且直线l⊥l′,∴m=-

1
k

kAB

y0
x0
=-
a2
b2
得:k•
y0
x0
=-3
,∴ky0=-3x0.…①

y0=-

1
k
x0+1得:ky0=-x0+k.…②

由①、②得:x0=-

k
2
y0=
3
2

又∵y0=kx0+2,∴

3
2
=-k•
k
2
+2,即k2=1,∴k=±1.

在y=kx+2中,当x=0时,y=2,即直线l经过定点M(0,2).

而定点M(0,2)在椭圆的内部,故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点,

∴k的值为±1.

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